Matematica discreta Esempi

$\frac{x^{2} + 13}{3 x^{2} - 11 x - 20} + \frac{- 2}{x - 5} = \frac{2}{3 x + 4}$

Passaggio 1

Scomponi ogni termine.

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Passaggio 1.1

Scomponi mediante raccoglimento.

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Passaggio 1.1.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 3 \cdot - 20 = - 60$ e la cui somma è $b = - 11$ .

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Passaggio 1.1.1.1

Scomponi $- 11$ da $- 11 x$ .

$\frac{x^{2} + 13}{3 x^{2} - 11 (x) - 20} + \frac{- 2}{x - 5} = \frac{2}{3 x + 4}$

Passaggio 1.1.1.2

Riscrivi $- 11$ come $4$ più $- 15$ .

$\frac{x^{2} + 13}{3 x^{2} + (4 - 15) x - 20} + \frac{- 2}{x - 5} = \frac{2}{3 x + 4}$

Passaggio 1.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x^{2} + 13}{3 x^{2} + 4 x - 15 x - 20} + \frac{- 2}{x - 5} = \frac{2}{3 x + 4}$

Passaggio 1.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 1.1.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$\frac{x^{2} + 13}{(3 x^{2} + 4 x) - 15 x - 20} + \frac{- 2}{x - 5} = \frac{2}{3 x + 4}$

Passaggio 1.1.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$\frac{x^{2} + 13}{x (3 x + 4) - 5 (3 x + 4)} + \frac{- 2}{x - 5} = \frac{2}{3 x + 4}$

Passaggio 1.1.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $3 x + 4$ .

$\frac{x^{2} + 13}{(3 x + 4) (x - 5)} + \frac{- 2}{x - 5} = \frac{2}{3 x + 4}$

Passaggio 1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{x^{2} + 13}{(3 x + 4) (x - 5)} - \frac{2}{x - 5} = \frac{2}{3 x + 4}$

Passaggio 2

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

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Passaggio 2.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$(3 x + 4) (x - 5), x - 5, 3 x + 4$

Passaggio 2.2

Il minimo comune multiplo è il numero positivo più piccolo divisibile equamente per tutti i numeri.

1. Elenca i fattori primi di ciascun numero.

2. Moltiplica ciascun fattore, preso una sola volta, con l'esponente più grande.

Passaggio 2.3

Il numero $1$ non è un numero primo perché ha un solo divisore positivo, cioè se stesso.

Non è primo

Passaggio 2.4

Il minimo comune multiplo di $1, 1, 1$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$1$

Passaggio 2.5

Il fattore di $3 x + 4$ è $3 x + 4$ stesso.

$(3 x + 4) = 3 x + 4$

$(3 x + 4)$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 2.6

Il fattore di $x - 5$ è $x - 5$ stesso.

$(x - 5) = x - 5$

$(x - 5)$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 2.7

Il fattore di $3 x + 4$ è $3 x + 4$ stesso.

$(3 x + 4) = 3 x + 4$

$(3 x + 4)$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 2.8

Il minimo comune multiplo di $3 x + 4, x - 5, x - 5, 3 x + 4$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$(3 x + 4) (x - 5)$

Passaggio 3

Moltiplica per $(3 x + 4) (x - 5)$ ciascun termine in $\frac{x^{2} + 13}{(3 x + 4) (x - 5)} - \frac{2}{x - 5} = \frac{2}{3 x + 4}$ per eliminare le frazioni.

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Passaggio 3.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{x^{2} + 13}{(3 x + 4) (x - 5)} - \frac{2}{x - 5} = \frac{2}{3 x + 4}$ per $(3 x + 4) (x - 5)$ .

$\frac{x^{2} + 13}{(3 x + 4) (x - 5)} ((3 x + 4) (x - 5)) - \frac{2}{x - 5} ((3 x + 4) (x - 5)) = \frac{2}{3 x + 4} ((3 x + 4) (x - 5))$

Passaggio 3.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 3.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.2.1.1

Elimina il fattore comune di $(3 x + 4) (x - 5)$ .

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Passaggio 3.2.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x^{2} + 13}{(3 x + 4) (x - 5)} ((3 x + 4) (x - 5)) - \frac{2}{x - 5} ((3 x + 4) (x - 5)) = \frac{2}{3 x + 4} ((3 x + 4) (x - 5))$

Passaggio 3.2.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$x^{2} + 13 - \frac{2}{x - 5} ((3 x + 4) (x - 5)) = \frac{2}{3 x + 4} ((3 x + 4) (x - 5))$

Passaggio 3.2.1.2

Elimina il fattore comune di $x - 5$ .

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Passaggio 3.2.1.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{2}{x - 5}$ nel numeratore.

$x^{2} + 13 + \frac{- 2}{x - 5} ((3 x + 4) (x - 5)) = \frac{2}{3 x + 4} ((3 x + 4) (x - 5))$

Passaggio 3.2.1.2.2

Scomponi $x - 5$ da $(3 x + 4) (x - 5)$ .

$x^{2} + 13 + \frac{- 2}{x - 5} ((x - 5) (3 x + 4)) = \frac{2}{3 x + 4} ((3 x + 4) (x - 5))$

Passaggio 3.2.1.2.3

Elimina il fattore comune.

$x^{2} + 13 + \frac{- 2}{x - 5} ((x - 5) (3 x + 4)) = \frac{2}{3 x + 4} ((3 x + 4) (x - 5))$

Passaggio 3.2.1.2.4

Riscrivi l'espressione.

$x^{2} + 13 - 2 (3 x + 4) = \frac{2}{3 x + 4} ((3 x + 4) (x - 5))$

Passaggio 3.2.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} + 13 - 2 (3 x) - 2 \cdot 4 = \frac{2}{3 x + 4} ((3 x + 4) (x - 5))$

Passaggio 3.2.1.4

Moltiplica $3$ per $- 2$ .

$x^{2} + 13 - 6 x - 2 \cdot 4 = \frac{2}{3 x + 4} ((3 x + 4) (x - 5))$

Passaggio 3.2.1.5

Moltiplica $- 2$ per $4$ .

$x^{2} + 13 - 6 x - 8 = \frac{2}{3 x + 4} ((3 x + 4) (x - 5))$

Passaggio 3.2.2

Sottrai $8$ da $13$ .

$x^{2} - 6 x + 5 = \frac{2}{3 x + 4} ((3 x + 4) (x - 5))$

Passaggio 3.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.3.1

Elimina il fattore comune di $3 x + 4$ .

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Passaggio 3.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$x^{2} - 6 x + 5 = \frac{2}{3 x + 4} ((3 x + 4) (x - 5))$

Passaggio 3.3.1.2

Riscrivi l'espressione.

$x^{2} - 6 x + 5 = 2 (x - 5)$

Passaggio 3.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} - 6 x + 5 = 2 x + 2 \cdot - 5$

Passaggio 3.3.3

Moltiplica $2$ per $- 5$ .

$x^{2} - 6 x + 5 = 2 x - 10$

Passaggio 4

Risolvi l'equazione.

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Passaggio 4.1

Sposta tutti i termini contenenti $x$ sul lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 4.1.1

Sottrai $2 x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} - 6 x + 5 - 2 x = - 10$

Passaggio 4.1.2

Sottrai $2 x$ da $- 6 x$ .

$x^{2} - 8 x + 5 = - 10$

Passaggio 4.2

Somma $10$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} - 8 x + 5 + 10 = 0$

Passaggio 4.3

Somma $5$ e $10$ .

$x^{2} - 8 x + 15 = 0$

Passaggio 4.4

Scomponi $x^{2} - 8 x + 15$ usando il metodo AC.

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Passaggio 4.4.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $15$ e la cui somma è $- 8$ .

$- 5, - 3$

Passaggio 4.4.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$(x - 5) (x - 3) = 0$

Passaggio 4.5

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 5 = 0$

$x - 3 = 0$

Passaggio 4.6

Imposta $x - 5$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 4.6.1

Imposta $x - 5$ uguale a $0$ .

$x - 5 = 0$

Passaggio 4.6.2

Somma $5$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 5$

Passaggio 4.7

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 4.7.1

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ .

$x - 3 = 0$

Passaggio 4.7.2

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 3$

Passaggio 4.8

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x - 5) (x - 3) = 0$ vera.

$x = 5, 3$

Passaggio 5

Escludi le soluzioni che non rendono $\frac{x^{2} + 13}{3 x^{2} - 11 x - 20} + \frac{- 2}{x - 5} = \frac{2}{3 x + 4}$ vera.

$x = 3$